Breve disquisición contra la innulidad del cero y la existencia numérica del infinito

A Juan y Héctor, por el placer de haber pensado en estas banalidades por ellos y con ellos.

En cierto pasaje de su obra Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Charles Seife parece estar seguro de tener una demostración de la no necesaria nulidad del cero, número siempre polémico que hasta pudo haber sido mejor comprendido por filósofos que por matemáticos (1).

Seife nos propone, pues, una “demostración” interesantísima de que cero puede ser cuantitativamente algo en lugar de ser nada, a partir del hecho de que al sumar cero “infinitas” veces se genera un resultado sorprendentemente distinto de cero como equivalente a la nada cuantitativa, un hecho absurdo en la realidad pero al parecer consistente en las matemáticas. (Entrecomillamos aquí "infinitas" por la acaso errada asunción de que se puede tomar infinito como un número existente.)

El aludido libro de Charles Seife. Muy recomendable.

                                         

Vamos a los argumentos que Seife presenta, que comienzan con un hecho obvio:

0+0+0+... =(n-n)+(n-n)+(n-n)+...      para todo n real,

que puede ser transformado en la ecuación:

0+0+0+... =n-n+n-n+n-n+...                      (Eq.A)

Continuemos transformando la proposición, con reacomodos algebraicos:

0+0+0+... =n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+...    (Eq.B)

0+0+0+... =n+(0)+(0)+(0)+...

0+0+0+... =n

donde, recordemos, n es cualquier número real; incluido todo real significativo, o sea no nulo, o sea distinto de cero. Tomemos ese caso: que n sea un real no nulo.

Eso implicaría que cero es algo; porque sumado infinitas veces resulta n, que no es número nulo. Pero hay un error en la demostración; y ese error es que se ha asumido como premisa lo mismo que se quería demostrar, al obtener Eq.B de Eq.A .

La asunción es ésta:

∞n - n = ∞n                                                (Eq.C)

Pues para obtener Eq.B de Eq.A, se ha hecho lo siguiente:

0 + 0 + 0 +... = n - n + n - n + n - n + ...

0 + 0 + 0 +... = ∞n + ∞(-n)

0 + 0 + 0 +... = ( 0 + ∞n ) + ∞(-n)

0 + 0 + 0 +... = ( (n-n) + ∞n ) + ∞(-n)

0 + 0 + 0 +... = ( n - n + ∞n ) + ∞(-n)

0 + 0 + 0 +... = (n + (-n + ∞n) ) + ∞(-n)

0 + 0 + 0 +... = (n + ( ∞n - n ) ) + ∞(-n)    (Eq.D)

0 + 0 + 0 +... = (n + ∞n ) + ∞(-n)              (Eq.E)

0 + 0 + 0 +... = n + ∞n + ∞(-n)

0 + 0 + 0 +... = n + ∞(-n) + ∞n

0 + 0 + 0 +... = n +( ∞(-n) + ∞n )

0 + 0 + 0 +... = n +( ∞ (- n + n) )

0 + 0 + 0 +... = n + (-n+n) + (-n+n) + (-n+n) + ...

donde para obtener Eq.E de Eq.D se asume Eq.C .

Ahora basta demostrar que Eq.C y la preposición "cero es algo" se implican recíprocamente. Con eso concluimos que esa demostración es una falacia de petición de principio.

Retomemos Eq.C y transformemos la expresión (la implicancia recíproca se obtiene siguiendo las transformaciones de abajo hacia arriba):

∞n - n = ∞n

∞n - ∞n = n

∞ (n - n) = n

∞ 0 = n

0+0+0+... = n                                           (Eq.F)

Como n puede ser cuaqluier real no nulo, entonces para ese caso, por Eq.F, necesariamente cero es algo; lo que se quería demostrar.

(Se podría argumentar que el error aquí es que no es cierto necesariamente que ∞n-∞n=∞(n - n) porque no necesariamente ∞=∞. Sin embargo, para decir que eso no es cierto debería aceptarse que ∞≠∞, pero ello es como decir ∞-∞ ≠ 0, o sea que siendo ∞≠∞, debería aceptarse que cero no sería nulo, lo cual es de nuevo lo mismo que se quería probar con la demostración que estamos evaluando.)

Nos ahorraríamos todo ese razonamiento analítico notando simplemente que no se cumple

0+0+0+0+... = n -n+n -n+n -n+n -n+... = n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+...

o, lo que es lo mismo,

0+0+0+...+0 = n -n+n -n+n -n+...+n -n = n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+...+(-n+n)

sino

0+0+0+0+... = n -n+n -n+n -n+n -n+... = n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+... -n

o, lo que es lo mismo,

0+0+0+...+0 = n -n+n -n+n -n+...+n -n = n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+...+(-n+n) -n

porque debemos devolver el último n que nos habíamos prestado.

En resumen, no hay premisas independientes, al menos no en las asunciones de Seife, que nos lleven a demostrar la innulidad del cero.

Asumir que cero es algo es a la vez asumir que infinito existe numéricamente y no sólo como una aproximación numérica a la imposibilidad de terminar en la cuenta ascendente; ya que para llegar a convertir esa suma de ceros en algo es preciso asumir numéricamente una cantidad real que corresponda al infinito. Personalmente, y con fundamento, prefiero hablar de “incontabilidad” (o acaso “inconmensurabilidad”) en lugar de “infinitud”, y decir “incontables” (o acaso “inconmensurable”) en lugar de “infinitos”.

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(1) Hablando del cero en su "Dialéctica de la naturaleza", Friedrich Engels mencionaba los dolores de cabeza que producía en los mejores matemáticos la acertada sentencia hegeliana que decía: “La nada de un algo es una determinada nada.”

Cooltura en el Zorba's* : De cuando le robé los aplausos a Américo Martínez

Éramos un grupo de tres que amamos el arte, la música, y la nueva canción en especial.** Y fuimos al café Zorba’s de Arequipa para escuchar y ver la “Trova dibujada” de los artistas Américo Martínez y Omar Zeballos.

El afiche del evento. Deberían repetirlo en algún buen lugar.

Habría tomado como descuido menor las luces colorinches del escenario reflejadas en la pantalla donde se reproducían los dibujos de Omar, si no fuera porque otros hechos coronaron la noche como ejemplo palmario del modo peculiar en que la gente de hoy se vincula con la cultura, o en que acaso se desvincula de ella. Pues que el evento no se llevara a cabo en la sala de un instituto cultural sino en la de un café nocturno, no lo hacía menos cultural. Al menos, así lo creía yo.

Hacia la primera media hora del concierto, ya casi no se podía seguir la interpretación de Américo con el parloteo casi gritado del auditorio en afán de superar en decibelios a esos bulliciosos músicos que no los dejaban entenderse. Aunque al inicio habíamos puesto nuestra cuota de bullicio (sí, el ambiente arrastra), ya recompuestos, pedimos a mesas vecinas que nos dejaran hacer aquello para lo que habíamos ido: escuchar música. Mofándose nos oyeron y se callaron; pero debían de ser tan interesantes sus temas de discusión que en poco tiempo volvieron a los gritos y hasta les comencé a prestar más atención que a la música tratando de corroborar mi segura suposición. Ello sobre la resignación de tener que buscar diferentes ángulos para sortear los reflejos chirriantes en la pantalla, recomponer los retazos capturados del dibujo y así hacerse una idea de él en su conjunto. Y, mientras que vista y oído ya estaban perdidos, el olfato comenzaba a dar alarmas cuando la nube de tabaco empezó a hacerse densa y una de nosotros ya tenía irritada la visión; y entonces decidimos pedir al dueño que impidiera fumar en la sala y éste, luego de una evasiva y ante mi insistencia, prometió hacer algo de mala gana.

En el intermedio Américo, no muy jovial, pidió compostura y aseguró que la suya no estuvo pensada para ser música de fondo. Vi de soslayo a la mesa más bulliciosa y tenían en las miradas algo parecido a la reticencia de esos bravucones del colegio que resondrados por el profe se quedaban tranquilos pero te la tenían jurada hasta la salida. También pidió Américo, seguro a solicitud del dueño, que se dejara de fumar; y todo empezaba a ir mejor. Pero ya en la segunda parte humo y bulla volvieron. Y como seguía siendo difícil constatar lo enjundioso del barullo y el aire se volvía asfixiante, pedimos silencio y salubridad a cada quien personalmente hasta que les llegamos (no precisamente al corazón) y si bien nunca alcanzamos el estatus digno de ser “el otro”,  esta vez alcanzamos la dignidad de ilotas.

 

Sui Géneris - "Música de fondo para cualquier fiesta animada" (la canción que Américo olvidó cantar al público culto que fue a escucharlo en el Zorba's)

Que en su espíritu juerguero muchos hayan dejado de percibir lo irritante de tener que respirar un humo denso que durante horas aturde y asquea, y dejado de percibir la música como algo más que un relleno de indeseados silencios; no es razón para que otros pierdan el derecho de disfrutar de un evento musical público sin asfixiarse. Noticia: el otro existe. Así como los problemas de género no deben ser pleito entre hembras y machos, esto no es un pleito entre fumadores y no fumadores (incluso mis acompañantes salieron a fumar a la calle). Es cuestión de cómo hacemos para que la vida siga siendo una opción aceptable para cada quién. El pleito es entre quienes le apuestan y a quienes les llega. Entre el atento y el distraído, entre la acción y el letargo. Entre uno y uno mismo: esta poca atención al otro es hermana de la poca atención a uno mismo cuando, por ejemplo siendo fumador, uno pasivamente acepta el terrorismo gráfico de autoridades insensatas que quieren persuadirlo con fotos grotescas de cánceres y males terminales que les ponen en las cajetillas.

Ya habiéndonos medido, teníamos que ser repelidos a como diera lugar. Excusas infantiles (somos un país infantil, ya no adolescente como decía Sánchez)… excusas infantiles, decía, como “tú eres el único al que le jode” y “pero si todos lo hacen” son de esperarse en un país donde presidentes y alcaldes excusan sus robos con el popular argumento de que quién no lo ha hecho, lo importante es que haga obra. Cuando terminó el programa oficial del concierto y se fueron los músicos del escenario, pedí en voz alta que volvieran, cosa que después harían; pero una fina señora de ya sabemos qué mesa se desgañitó: “¡Deja escuchar, deja escuchar!”, en una clara aplicación de la lógica criolla, muy común, del “yo también te cago”. ¿Será difícil entender que en un concierto me callo cuando el músico está interpretando por la simple razón de dejar escuchar la música y no cuando no hay nada que escuchar?

Uno de ellos, criollazo también, viéndose reducido en los argumentos y con encubierta sonrisa triunfal, cobró su revancha prometiendo apagar el cigarro después de que aquel otro tipo apagara el suyo. Listísimo, lógico de aquéllos: redujo mi exigencia al absurdo del bucle infinito en que me pondría el otro al asestarme la misma respuesta. “Cuando los otros dejen de robar”, escuché alguna vez decir a un regidorcillo distrital de lo más execrable... Y el paroxismo llegó cuando uno me espetó que hasta John Lennon salía fumando en el póster de la pared de al lado.

Sé que la ligereza de criterios nos es innata (no ignoro la etología), pero el aprendizaje (por imitación y repetición) lo es también, felizmente. Los logros sociales que hasta ahora hemos tenido se deben al empuje de minorías que han tomado la batuta en ciertos momentos clave y que han bregado por hacer entender sus razones hasta la común aceptación, para que el nuevo uso luego  se impusiera y fuera seguido sin mayor cuestionamiento. La cosa es simple: así como hemos aprendido a levantarnos e ir a una habitación aparte a liberar el contenido de nuestras vejigas en vez de dejar un charco apestoso en el lugar público de reunión, por consideración a los demás originalmente y por educación cuando tal costumbre pasó a ser lo políticamente correcto; podemos aprender a salir si queremos liberar cualquier otra sustancia que pueda perturbar y enfermar al otro. Sí, el otro, el otro, el otro: clave de la convivencia, aunque nos joda a todos.

Cuando reclamé al dueño por segunda vez, me dijo que ya no podía hacer nada, que qué quería, ¿que los botara?, que la ley de no fumar ya no se aplicaba porque la habían apelado las tabacaleras… Sí, pues: fuera cierto o no, la consideración con el otro no es voluntaria; tiene que venir empaquetada en su respectiva ley. Pues el mensaje implícito era sencillo: nos botaba a nosotros. Así que pagué nuestras bebidas y rehusé pagar la entrada al evento (que se pagaba al salir), y ya recogíamos nuestras cosas para retirarnos cuando en eso comenzaron los aplausos eufóricos que nos prodigaban aquellos a quienes ¡nosotros! habíamos perturbado con nuestros reclamos… ¿País adolescente? No, Luis Alberto…

Pero, como ya dije, eso era de esperarse, incluso que el dueño nos siguiera en nuestra retirada ¿para asegurarse de que no nos quedáramos luego de no haber pagado la entrada?, quizás; ¿para regodearse en el pretendido escarnio?, probable. Lo que sí podría decir es que sólo le faltó hacerles barra.

No hago votos para no volver a ese lugar. Mientras ofrezca al público la música que disfruto, con artistas que son amigos míos, seguiré yendo; y tendré que volver a reclamar; ¿en otras instancias?, quizás… Y quién sabe en alguna de ésas pasen por el local y me vean afuera en el intermedio de un show de Américo, gozando del frío quieto y, seguro de no perturbar a nadie dentro de en la sala, como cantara Fito: fumando el humo mientras todo pasa.


*   cool (pronunciado "kul"), término del idioma inglés, significa: frío, indiferente.

** Nueva canción: movimiento musical peculiarmente poético y de compromiso político y social aparecido en América Latina y España  durante la década de los sesentas.

Mario Vargas Llosa y los animales

De ver cómo mataban a esos indefensos saliste compungido de la perrera municipal, Mario, cuando secuestraron al Batuque...

Ahora haces ditirambos a la tauromaquia y buscas la sinrazón para denigrar la compasión por otro ser vivo.

¡¿En qué momento te jodiste, Mario?!

El principal enemigo del amor

Desromantizando el mundo...

El romanticismo es el principal enemigo del amor. Lo supone basado en una imperiosa necesidad mutua. Si necesito a alguien porque no me siento completo sin esa persona, estoy arrastrando vacío espiritual; si además espero que esa persona necesite de mí, estoy esperando que arrastre también vacío espiritual y pretendiendo con ese vacío llenar el mío.

Dos incompletitudes espirituales no se complementan; se refuerzan en un peligroso forado compartido; dos menesterosos sólo pueden contraer (como se contraen las enfermedades) un amor menesteroso, y eso no es amor en el sentido optimista y productivo de la palabra.

John Lennon, uno de los grandes precursores del amor, decía en un nutritivo discurso que sólo cuando estemos enamorados de nosotros mismos seremos capaces de enamorarnos de alguien. Estar enamorado de uno mismo es, en este caso, no ser menesteroso de alguien más.

 

Himno del amor. Necesitamos amor, no imperiosamente alguien en especial que nos lo profese; aun siendo hermoso tener personas especiales en nuestra vida, pero no porque las necesitemos.

Les dejo la traducción del discurso de John Lennon:

«Nos hicieron creer que el "gran amor" sólo sucede una vez, generalmente antes de los 30 años. No nos contaron que el amor no es accionado, ni llega en un momento determinado.

Nos hicieron creer que cada uno de nosotros es la mitad de una naranja, y que la vida sólo tiene sentido cuando encontramos la otra mitad. No nos contaron que ya nacemos enteros, que nadie en nuestra vida merece cargar en las espaldas la responsabilidad de completar lo que nos falta: sólo crecemos en la vida por nosotros mismos. Si estamos en buena compañía, es tan sólo más agradable.

Nos hicieron creer en una fórmula llamada "dos en uno": dos personas pensando igual, actuando igual, que era eso lo que funcionaba. No nos contaron que eso tiene nombre: anulación. Que sólo siendo individuos con personalidad propia podremos tener una relación saludable.

Nos hicieron creer que el matrimonio es obligatorio, y que los deseos fuera de término deben ser reprimidos. Nos hicieron creer que los lindos y flacos son más amados.

Nos hicieron creer que sólo hay una fórmula para ser feliz, la misma para todos, y los que escapan de ella están condenados a la marginalidad. No nos contaron que estas fórmulas son equivocadas, frustran a las personas, son alienantes, y que podemos intentar otras alternativas.

Tampoco nos dijeron que nadie nos iba a decir todo esto. Cada uno lo va a tener que descubrir solo.

Cuando llegues a estar primero enamorado de ti mismo, entonces te podrás enamorar de alguien.»

En verdad, en verdad hablando, el poeta (también) es un trabajo difícil...

En verdad, en verdad hablando, 
la poesía es un trabajo difícil 
que se pierde o se gana 
al compás de los años otoñales. 

Javier Heraud

Hace unos días propicié una polémica, a propósito de un festival de poesía realizado en Arequipa, sugiriendo cierta vinculación entre los atuendos remilgados de varios participantes y sus no muy felices versos. Después de larga discusión (véanla aquí), el organizador del festival, Martín Zúñiga, cuyas intervenciones me ayudaron a pensar mejor el asunto, dejó una cuestión que ahora trato de responder. Me dijo Zúñiga que quiero ver papas donde hay camotes pretendiendo forzar un vínculo entre atuendos y calidades poéticas. Tratemos ahora de ver toda la pachamanca.

Dentro de un grupo de personas que tienen un interés común es normal que haya unos pocos que tengan a la vez otro interés u otra manera de ser, por simple coincidencia; es normal que entre los que pintan haya uno que juegue ajedrez, y quizá uno interesado en los vestidos de moda. Ahora, si en los círculos de los que tienen interés por hacer poesía abundan, mucho más que en cualesquier otros grupos, los individuos de vestidos y maneras remilgados, es porque ya no se trata de una mera coincidencia sino que hay una vinculación determinante entre una cosa y la otra. O sea, cuando vemos a un remilgado entre los que escriben y publican, no podemos estar seguros de que las poses tengan que ver con sus escritos porque puede ser una coincidencia; pero cuando vemos a la mitad de ellos disfrazados de “únicos” en un festival de poesía, sabemos que hay un vínculo determinante por el que en la mayoría de casos se está impostando una imagen para afirmar la propia existencia desde la respuesta pública: buscando pompa y platillos, casi viviendo del halago y por el halago (el “por” es muy importante) y, en penosos casos, hasta de la ridiculización de la imagen de otros; todo para quedar mejor parados y sacarle un poco la vuelta a la inseguridad personal y a la escasez de una auténtica autoestima; porque a veces ya no se trata de superación sino de inferiorización de los demás y de usar cualquier recurso para verse únicos: si no se puede con paciente trabajo creativo se podrá entonces con los atuendos. Hay grandes artistas que le han dado harta importancia a su imagen pública; pero depender de ella es otra cosa, quien depende ya no es libre, y sin libertad de espíritu no se puede ser artista.

Las personas no somos un armario donde las cosas se guardan en gavetas separadas. Menos aun en el plano de la poesía, cuya fuente prístina es la vida propia. Si tienes remilgos en el vestir por razones de inseguridad o baja autoestima, los tienes en tu vida, y lo más probable es que los tengas en lo que escribes. La mayoría de quienes escriben y se presentan en recitales todo atildados, o sea aquellos en que no es una coincidencia el escribir y el ser remilgados, están demasiado pendientes de lo que sucede afuera, buscando admiradores para sentirse valiosos y únicos por ser intelectuales o poetas, quieren de afuera la satisfacción existencial y el desahogo para el vacío interior, separatividad en términos de Erich Fromm. Cuando se ponen a escribir siguiendo pautas que muy bien han aprendido de los maestros que leen, convierten en recetario las técnicas que los maestros han logrado en un difícil proceso de interiorización de experiencias vitales y solitariedad. Uno empieza con recetarios, claro, pero el proceso de interiorización nos construye una voz. Los temas vienen de adentro, sí, es cierto, pero el lego impaciente los desarraiga de inmediato en busca del halago fácil. Invierten el proceso: miran hacia afuera en lugar de mirar para adentro, que es la manera de construir una voz artística propia.

Pero hay algo más. Como estamos en la era del consumismo y la espectacularización de la existencia, crean su obra como mercancía y producto. Puede ser bonita, desde luego; pero quiero ir un poco más allá: no es el arte la finalidad sino que lo es más bien el artista. El arte es el mecanismo del artista para forjar su espíritu, quizás sin darse cuenta racionalmente, en un acto de amor a sí mismo que es a la vez amor a todo; en verdad el producto es él o ella. Él o ella se construye a través de su arte, así como los arqueros del Zen, cuya finalidad no es darle al blanco sino el temple y la forja de su espíritu a través de su arte. En ese sentido recuerdo al cineasta Alexandr Sokurov explicando una de sus obras maestras con la frase “necesitaba aprender”, a Kafka rehusando la publicación de su obra, a Onetti diciendo que escribe para él mismo (su gran amigo Eduardo Galeano no le cree porque, estoy seguro, en él el proceso es bastante inconsciente). Y, de hecho, no es el arte la sola herramienta del artista para crear (y recrear) el humano que quiere ser; ni siquiera tiene el arte ese privilegio. En un bello poema, Eielson expresa la revelación de que el arte no es un producto:

No es necesario escribir bien

Para escribir un poema

Se necesita sólo amar

Y amar solamente

Aunque lo mejor es siempre

No escribir

Le doy la razón a Eielson en que no importa si un poema está bien o mal escrito, porque un poema puede estar en determinado momento del proceso (si es que lohay), en algun estadío del proceso amoroso que puede durar toda la vida. (Vean al mismo Vallejo principiando su proceso, aquí) Y por esto me retracto de las críticas estilísticas (aunque válidas en el sentido académico) que pude hacer a los poemas del festival, porque no está mal escribir mal... Había, sí, muchos poemas sin voz propia, con respiración asistida, meros ejercicios de recetario; pero nada nos dice que esos poemas no estén en las primeras etapas de un hermoso proceso personal en que aún se debe descubrir cómo mirar hacia adentro y darle poca importancia a la respuesta del exterior. Y en ese sentido se entienden también las autocríticas estilísticas que en su momento se hicieran varios artistas, como en los poemas de Heraud y Neruda que mencioné en la polémica (este y este).

Al margen de mi disgusto por los remilgos de los recitadores, aunque dejo sentado que sí tienen que ver con la poesía, amorosamente les daría este consejo, que no es mío sino de Rainer María Rilke (cuyas ideas animan todo este “post”): dejen de mirar tanto hacia afuera, porque ese afuera es caos para el espíritu de ustedes; y si no se forjan, ensimismándose, un orden interior que pueda armonizar el caos, pueden terminar siendo barridos por él.