A Juan y Héctor, por el placer de haber pensado en estas banalidades por ellos y con ellos.
En cierto pasaje de su obra Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Charles Seife parece estar seguro de tener una demostración de la no necesaria nulidad del cero, número siempre polémico que hasta pudo haber sido mejor comprendido por filósofos que por matemáticos (1).
Seife nos propone, pues, una “demostración” interesantísima de que cero puede ser cuantitativamente algo en lugar de ser nada, a partir del hecho de que al sumar cero “infinitas” veces se genera un resultado sorprendentemente distinto de cero como equivalente a la nada cuantitativa, un hecho absurdo en la realidad pero al parecer consistente en las matemáticas. (Entrecomillamos aquí "infinitas" por la acaso errada asunción de que se puede tomar infinito como un número existente.)
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| El aludido libro de Charles Seife. Muy recomendable. |
Vamos a los argumentos que Seife presenta, que comienzan con un hecho obvio:
0+0+0+... =(n-n)+(n-n)+(n-n)+... para todo n real,
que puede ser transformado en la ecuación:
0+0+0+... =n-n+n-n+n-n+... (Eq.A)
Continuemos transformando la proposición, con reacomodos algebraicos:
0+0+0+... =n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+... (Eq.B)
0+0+0+... =n+(0)+(0)+(0)+...
0+0+0+... =n
donde, recordemos, n es cualquier número real; incluido todo real significativo, o sea no nulo, o sea distinto de cero. Tomemos ese caso: que n sea un real no nulo.
Eso implicaría que cero es algo; porque sumado infinitas veces resulta n,
que no es número nulo. Pero hay un error en la demostración; y ese
error es que se ha asumido como premisa lo mismo que se quería
demostrar, al obtener Eq.B de Eq.A .
La asunción es ésta:
∞n - n = ∞n (Eq.C)
Pues para obtener Eq.B de Eq.A, se ha hecho lo siguiente:
0 + 0 + 0 +... = n - n + n - n + n - n + ...
0 + 0 + 0 +... = ∞n + ∞(-n)
0 + 0 + 0 +... = ( 0 + ∞n ) + ∞(-n)
0 + 0 + 0 +... = ( (n-n) + ∞n ) + ∞(-n)
0 + 0 + 0 +... = ( n - n + ∞n ) + ∞(-n)
0 + 0 + 0 +... = (n + (-n + ∞n) ) + ∞(-n)
0 + 0 + 0 +... = (n + ( ∞n - n ) ) + ∞(-n) (Eq.D)
0 + 0 + 0 +... = (n + ∞n ) + ∞(-n) (Eq.E)
0 + 0 + 0 +... = n + ∞n + ∞(-n)
0 + 0 + 0 +... = n + ∞(-n) + ∞n
0 + 0 + 0 +... = n +( ∞(-n) + ∞n )
0 + 0 + 0 +... = n +( ∞ (- n + n) )
0 + 0 + 0 +... = n + (-n+n) + (-n+n) + (-n+n) + ...
donde para obtener Eq.E de Eq.D se asume Eq.C .
Ahora basta demostrar que Eq.C y la preposición "cero es algo" se implican recíprocamente. Con eso concluimos que esa demostración es una falacia de petición de principio.
Retomemos Eq.C y transformemos la expresión (la implicancia recíproca
se obtiene siguiendo las transformaciones de abajo hacia arriba):
∞n - n = ∞n
∞n - ∞n = n
∞ (n - n) = n
∞ 0 = n
0+0+0+... = n (Eq.F)
Como n puede ser cuaqluier real no nulo, entonces para ese caso, por Eq.F, necesariamente cero es algo; lo que se quería demostrar.
(Se podría argumentar que el error aquí es que no es cierto
necesariamente que ∞n-∞n=∞(n - n) porque no necesariamente ∞=∞. Sin
embargo, para decir que eso no es cierto debería aceptarse que ∞≠∞, pero
ello es como decir ∞-∞ ≠ 0, o sea que siendo ∞≠∞, debería aceptarse que
cero no sería nulo, lo cual es de nuevo lo mismo que se quería probar con la demostración que estamos evaluando.)
Nos ahorraríamos todo ese razonamiento analítico notando simplemente que no se cumple
0+0+0+0+... = n -n+n -n+n -n+n -n+... = n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+...
o, lo que es lo mismo,
0+0+0+...+0 = n -n+n -n+n -n+...+n -n = n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+...+(-n+n)
sino
0+0+0+0+... = n -n+n -n+n -n+n -n+... = n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+... -n
o, lo que es lo mismo,
0+0+0+...+0 = n -n+n -n+n -n+...+n -n = n+(-n+n)+(-n+n)+(-n+n)+...+(-n+n) -n
porque debemos devolver el último n que nos habíamos prestado.
En resumen, no hay premisas independientes, al menos no en las asunciones de Seife, que nos lleven a demostrar la innulidad del cero.
Asumir que cero es algo es a la vez asumir que infinito
existe numéricamente y no sólo como una aproximación numérica a la
imposibilidad de terminar en la cuenta ascendente; ya que para llegar a
convertir esa suma de ceros en algo es preciso asumir numéricamente una cantidad real que corresponda al infinito.
Personalmente, y con fundamento, prefiero hablar de “incontabilidad” (o
acaso “inconmensurabilidad”) en lugar de “infinitud”, y decir
“incontables” (o acaso “inconmensurable”) en lugar de “infinitos”.
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(1) Hablando del cero en su "Dialéctica de la naturaleza", Friedrich Engels mencionaba los dolores de cabeza que
producía en los mejores matemáticos la acertada sentencia hegeliana que
decía: “La nada de un algo es una determinada nada.”
